Системы счисления

Системы счисления

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемыми цифрами.

Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Примеры непозиционных систем счисления: унарная (единичная) система счисления, римская система счисления, алфавитная система счисления.

        Унарная (единичная) система счисления характеризуется тем, что в ней для записи чисел применяется только один вид знаков – палочка. Каждое число в этой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы счисления очевидны: это громоздкость записи больших чисел, значение числа сразу не видно, чтобы его получить, нужно сосчитать палочки.

В римской системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы, являющиеся «цифрами» этой системы счисления:

1	5	10	50	100	500	1000
I	V	X	L	C	D	M

 Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

1)      Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

2)      Разности значений большей и меньшей «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа второго вида);

3)      Сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого и второго видов.

Примеры.

1.  Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = (X+X+X) + (I+I) =30+2 (две группы первого вида)

2.  Число 444 в римской системе счисления имеет вид:

CDXLIV = (D-C) + (L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4 – три группы второго вида)

3.      Число 1974:

MCMLXXIV = M+ (M-C) +L+(X+X) + (V-I) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»)

4.      Число 2005:

MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5 (две группы первого вида)

Позиционные системы счисления характеризуется тем, что количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание, равное количеству цифр (знаков в ее алфавите).

Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Десятичная система счисления имеет алфавит из десяти цифр: 0, 1, …, 9.

Двоичная система счисления имеет алфавит из двух цифр: 0, 1.

Например, в числе 1987₁₀ цифра «1» обозначает одну тысячу (1*10³),

цифра «9» обозначает девять сотен (9*10²),

цифра «8» обозначает восемь десятков (8*10¹),

цифра «7» обозначает семь единиц (7*10⁰).